Andrzej Katunin
Zbiór Mandelbrota. Źródło: Wikipedia, za: Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3. – Praca własna, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=321973
Fraktale… Nieskończenie złożone, niesamowicie skomplikowane samopodobne kształty, zazwyczaj nie dające się opisać zasadami i kształtami geometrii, która determinuje nasz świat od młodości, i do której tak bardzo się przyzwyczailiśmy – geometrii Euklidesa. Zapewne znajdzie się wielu, którzy o fraktalach „coś słyszeli” i to zapewne dzięki pracom Benoita Mandelbrota, naukowca i wizjonera, który obecnie nosi zasłużony tytuł „ojca geometrii fraktalnej”. Mandelbrot nie tylko wprowadził pojęcie fraktali, ale też spopularyzował je, dając początek rozwojowi tej egzotycznej dziedziny matematyki, która zadomowiła się prawie w każdej dziedzinie nauk inżynieryjnych, ścisłych, nauk o życiu, a nawet lingwistyce czy sztuce.
Dziełem życia Benoita Mandelbrota był słynny „żuczek”, jak pieszczotliwie nazywają go matematycy, fraktalny zbiór, który nosi obecnie jego imię – zbiór Mandelbrota. Badania tego zbioru trwają po dziś dzień i wciąż odkrywane są jego coraz nowsze, zaskakujące właściwości. Zbiór Mandelbrota wielu określa jako najbardziej skomplikowany obiekt geometryczny kiedykolwiek stworzony przez człowieka i jest w tym wiele prawdy, bowiem stanowi on rodzaj mapy drogowej. Poruszając się w nieskończonej złożoności jego brzegu po współrzędnych płaszczyzny zespolonej, na której zbiór jest zdefiniowany, odkryjemy ogromne mnóstwo innych zbiorów fraktalnych, nie tylko takich, które są podobne kształtem do jego pierwotnej postaci, ale również zbiory Julii i Fatou, ukryte w gąszczu misternie posplatanych ze sobą kształtów. Te zbiory to dzieło dwóch francuskich matematyków, badających właściwości układów dynamicznych, którzy stworzyli podwaliny do powstania kilkadziesiąt lat później zbioru Mandelbrota. Ze względu na to, że zbiór ten zawiera mniejsze kopie nie tylko samego siebie, ale również innych zbiorów fraktalnych, jest określany mianem multifraktala.
Fraktale nie miały wszak łatwej historii i drogi do uznania przez świat naukowy. Gdy powstawały pierwsze z nich, ówczesne środowisko matematyczne nie dawało im szans, określając „wyrzutkami” i „potworami”. Musiały przejść długą drogę, zanim zostały zaakceptowane przez matematyków i innych naukowców. Obecnie trudno jednak sobie wyobrazić dziedzinę nauki, w której nie są wykorzystywane. Wśród zastosowań należy przede wszystkim wymienić ekonomiczne narzędzia, służące do analizy fluktuacji cen na nieprzewidywalnych rynkach, gdzie fraktale stanowią już niemal klasykę. Od takich właśnie analiz zaczynał Mandelbrot w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku. Analiza fraktalna znalazła również szerokie zastosowanie w naukach chemicznych i biologicznych, gdzie jest wykorzystywana do oceny stopnia skomplikowania obserwowanych struktur, a w mechanice pękania fraktale posłużyły jako narzędzie do matematycznego opisu krawędzi pęknięć oraz przewidywania ich postępowania. Fraktale wiernie służą astrofizykom, którzy wykorzystują je do analizy i modelowania kształtów galaktyk i rozproszenia znajdującej się w nich materii. Nie brakuje też przykładów muzyki fraktalnej, sposobu algorytmicznego generowania muzyki z wykorzystaniem fraktali, a naukowcy z Bostonu doszukali się struktury fraktalnej nawet w niektórych dziełach słynnego Bacha. To jedynie niewielka próbka wielopłaszczyznowości wykorzystania fraktali, która obrazuje, jak bardzo „matematyczne potwory” zakorzeniły się w nauce i jak wpływają na postęp cywilizacyjny.
Ale wróćmy do zbioru Mandelbrota. Mimo że nazwano go najbardziej skomplikowanym obiektem geometrycznym kiedykolwiek istniejącym, możliwe jest jego uogólnienie i takie uogólnienia zaczęły pojawiać się na przełomie lat osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia. Zbiór Mandelbrota jest zdefiniowany na dwuwymiarowej płaszczyźnie zespolonej, tj. na osiach mamy odpowiednio części rzeczywistą i urojoną liczb reprezentujących jego punkty. Wydawałoby się, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby zdefiniować ten zbiór w przestrzeniach, które są uogólnieniem płaszczyzny zespolonej. Pierwsze takie przestrzenie, czterowymiarowe kwaterniony i ośmiowymiarowe oktoniony, zostały zdefiniowane jeszcze w XIX wieku przez Hamiltona i Gravesa, natomiast na początku ubiegłego wieku matematycy Cayley i Dickson zaproponowali sposób tworzenia wielowymiarowych przestrzeni hiperzespolonych właściwie bez ograniczeń, w którym liczba wymiarów takiej przestrzeni zawsze jest dwukrotnie większa od poprzedniej.
Rozważając o wielowymiarowych przestrzeniach mamy na uwadze zawsze wymiary geometryczne, które trudno sobie wyobrazić, wchodzimy na kolejne poziomy abstrakcji matematycznej, które przynoszą ze sobą wiele dziwnych właściwości. Otóż, mając narzędzie do tworzenia wielowymiarowych przestrzeni, można byłoby uogólniać dwuwymiarowy zbiór Mandelbrota do postaci iście niewyobrażalnych matematycznych dziwolągów. Szkopuł w tym, że działania matematyczne, które poznaliśmy w ławkach szkoły podstawowej, takie jak przemienność, łączność czy rozdzielność w rachunkach arytmetycznych, po kolei przestają działać wraz ze wzrostem liczby wymiarów naszych przestrzeni. Oznacza to, że w przestrzeniach hiperzespolonych mnożenie przez siebie dwóch niezerowych liczb może w wyniku dać zero albo i jeszcze dziwniejsze wyniki. Zatem uogólnienia zbioru Mandelbrota możliwe są jedynie do przestrzeni ośmiowymiarowych, co jednak i tak jest wyzwaniem, jeżeli chcielibyśmy spróbować sobie to wyobrazić. W przestrzeniach o wyższej liczbie wymiarów fraktale zamieszkać już nie mogą, głównie przez wyżej wspomniane trudności z wykonywaniem działania mnożenia.
Czy te wielowymiarowe hiperzespolone przestrzenie mogą się do czegoś przydać poza rozpaleniem tęgich matematycznych umysłów? Wbrew wrażeniu, że są to twory wyłącznie abstrakcyjne, znalazły one mnóstwo istotnych zastosowań, bowiem algebra czterowymiarowych kwaternionów została stworzona przez Hamiltona właśnie na potrzeby owych zastosowań i obecnie stanowi podstawę aparatu matematycznego w mechanice klasycznej i kwantowej, mechanice płynów, robotyce czy dynamice molekularnej. Doskonałym przykładem zastosowania kwaternionów jest ich wykorzystanie w układach kontroli orientacji przestrzennej statków kosmicznych, tj. uogólniając, bez kwaternionów ludzkości trudno byłoby polecieć w kosmos. Wykorzystanie kwaternionów do opisu obrotów w przestrzeni trójwymiarowej jest po prostu znacznie prostsze i efektywniejsze niż wykonanie tych działań w przestrzeni trójwymiarowej. Nie brakuje też zastosowań kolejnego uogólnienia kwaternionów – ośmiowymiarowych hiperzespolonych oktonionów. Z nich również czerpie mechanika kwantowa, elektrodynamika, a także są one podstawą opisu matematycznego współczesnych teorii fizyki Wszechświata: teorii supergrawitacji i superstrun, zmierzających do odnalezienia Świętego Graala fizyki – enigmatycznej i wciąż jeszcze hipotetycznej Teorii Wszystkiego, która miałaby opisać wszystkie oddziaływania fizyczne w sposób spójny.
Ale zastosowanie przestrzeni hiperzespolonych to jedna rzecz, a zupełnie inna – zastosowanie żyjących w nich fraktalnych hiperzespolonych „potworów”. Czy wielowymiarowe uogólnienia zbioru Mandelbrota mogą się przydać nam do czegoś jeszcze poza zawrotem głowy przy próbie ich wyobrażenia? Otóż również te matematyczne dziwolągi okazują się niezwykle przydatne i niepostrzeżenie stoją na straży naszych poufnych informacji. Żyjemy w świecie, gdzie wielkość przepływu informacji jest wręcz niewyobrażalna i stale rośnie. Wiele tych informacji to takie, których wolelibyśmy nie ujawniać, tj. nasze informacje osobiste, transakcje finansowe, podpisy cyfrowe itd. Aby je chronić przed niepożądanym dostępem, konieczne są skuteczne metody szyfrowania. Jedną z takich metod jest algorytm generowania tzw. kluczy, czyli pewnego rodzaju algorytmów pozwalających na szyfrowanie i deszyfrowanie informacji poufnych. Najnowsze badania wykazują, że doskonale nadają się do tego zbiory fraktalne zdefiniowane w czterowymiarowej przestrzeni kwaternionów. A to dzięki pewnym wyjątkowym właściwościom tych zbiorów. Generowanie zbiorów fraktalnych jest ściśle związane z zachowaniem chaotycznym, bowiem geometria fraktalna ciasno przeplata się z teorią chaosu w wielu zagadnieniach. To z kolei powoduje, że algorytm oferuje nieskończoną liczbę kombinacji parametrów generowanego zbioru, co umożliwia ogromną różnorodność generowanych kluczy. Ponadto generowanie zbiorów fraktalnych jest procesem nieodwracalnym, co oznacza, że nie jesteśmy w stanie określić parametrów na podstawie struktury wygenerowanego obrazu. Dodatkowo możemy sterować sposobem wykonywania przekrojów zbioru (w wyniku wykonania takiego przekroju otrzymujemy trójwymiarową bryłę), który dodaje kolejne parametry przy generowaniu kluczy. Ostatecznie w sposób losowy wybierane są reprezentatywne punkty z tego trójwymiarowego przekroju, co gwarantuje wysoki poziom zabezpieczenia naszych danych.
Historia nauki, a zwłaszcza matematyki, bogata jest w nieprawdopodobne i kuriozalne wręcz zwroty akcji, nie tylko odmieniające życie naukowców pracujących nad przełomowymi problemami naukowymi, ale również zmieniające sposób postrzegania nauki i prowadzące do kolejnych skoków cywilizacyjnych. Tak było z fraktalami, które z „matematycznych wyrzutków” w ciągu stu lat awansowały do roli niezastąpionych kompanów współczesnych naukowców. O tej trudnej historii fraktali opowiada ostatnio wydana książka popularnonaukowa mojego autorstwa Fraktale. Matematyczne potwory, które odmieniły postrzeganie świata (Wydawnictwo Politechniki Śląskiej).
Dr hab. inż. Andrzej Katunin, prof. PŚ, Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej w Gliwicach
